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柯春旭 劉萍 撲克牌飛行的動力學(xué)分析本文研究了第33屆國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽（IYPT）的第17題：撲克牌的飛行穩(wěn)定性問題。通過對撲克牌進(jìn)行定量化拋擲實驗，并對飛行過程中的撲克牌進(jìn)行運(yùn)動與受力分析的方法，研究影響撲克牌飛行距離和軌跡的參數(shù)。首先通過對拋擲撲克牌的過程進(jìn)行分析，設(shè)計了定量化的撲克牌拋擲儀器；隨后在實驗中，對撲克牌的出射俯仰角、角速度、高度對其軌跡及距離的影響進(jìn)行了分別驗證；接著基于實驗中觀察到的現(xiàn)象以及數(shù)值仿真，對撲克牌相對于自身質(zhì)心的剛體運(yùn)動，以及質(zhì)心相對于地面的空間運(yùn)動進(jìn)行了分別分析，最后得出了其運(yùn)動的微分方程。 這一現(xiàn)象可以用陀螺效應(yīng)很好地定性解釋。李振(2018)詳細(xì)地研究了類似自旋飛行物——飛盤的飛行規(guī)律并對其進(jìn)行了較為精確的建模與充分的實驗，并得出了飛盤飛行軌跡的理論預(yù)測[1]。但是飛盤和撲克牌在幾何尺寸形狀以及密度等重要參數(shù)上均存在重大差異，相比而言，撲克牌質(zhì)量更輕、密度更小，更易受氣流的影響；且形狀更為不規(guī)則，周圍氣體流態(tài)更為復(fù)雜。因此，撲克牌的飛行與飛盤的飛行并不能進(jìn)行等同，且更為復(fù)雜。而目前并沒有關(guān)于撲克牌飛行的定量研究，對于相關(guān)參數(shù)對于撲克牌飛行過程的具體影響的探究更是無從談起。 本文從拋擲撲克牌出發(fā)，設(shè)計拋擲撲克牌的機(jī)械裝置來控制撲克牌發(fā)射的初始條件，以此進(jìn)行定量化的實驗探究，隨后根據(jù)在試實驗中觀察到的撲克牌飛行過程，進(jìn)行了相應(yīng)的理論解釋，最后結(jié)合受力分析以及comsol有限元仿真，得出撲克牌飛行軌跡的微分方程。 由于旋轉(zhuǎn)撲克牌的空間運(yùn)動過程相對復(fù)雜，影響因素較多，包含6個自由度，直接進(jìn)行理論分析存在較大的困難。因此本文采用實驗指導(dǎo)理論的思路展開研究。 依靠人工拋擲的方式，無法精確控制撲克牌每次發(fā)射的速度與角速度①（①定義撲克牌的質(zhì)心平動速度為其速度,繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角速度為其角速度。）。為了達(dá)到定量實驗的目的，設(shè)計了能發(fā)射旋轉(zhuǎn)撲克牌的機(jī)械化裝置，并且驗證其對出射速度與角速度的控制效果。 要想使拋出的撲克牌旋轉(zhuǎn)，有很多種方式。其中最簡單常用的方法是：兩指夾住撲克牌的一端，手指手腕同時發(fā)力，將撲克牌向前甩出； 對這種拋擲方式進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是在拋擲過程中，給予了撲克牌一個偏心的初沖量（如圖1所示），使撲克牌在擁有向前平動的動量的同時，也擁有了繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角動量。這樣就拋出了一張旋轉(zhuǎn)的撲克牌。 基于1.1的討論，可以設(shè)計并制作了如圖2能將撲克牌偏心擊出，使其在飛行的過程中旋轉(zhuǎn)的撲克牌發(fā)射裝置。 結(jié)構(gòu)部分的主體是兩個十字交叉的木條，上面貼有標(biāo)尺，用于放置撲克牌并且在每次發(fā)射前將撲克牌固定在同一個初始位置，以此控制撲克牌的出射速度與角速度； 擊發(fā)部分由C字形導(dǎo)軌、擊錘和皮筋組成，皮筋可以拉動擊錘沿導(dǎo)軌運(yùn)動，發(fā)射時將擊錘向后拉動并固定在一個確定位置，使每次發(fā)射皮筋的伸長量相同，可以近似控制擊錘末速度恒定。 由于控制了擊錘的末速度，此時撲克牌的出射速度與角速度僅與擊發(fā)位置，即撲克牌放置位置所對應(yīng)的標(biāo)尺上的橫縱坐標(biāo)有關(guān)②（②定義與擊錘運(yùn)動方向平行的標(biāo)尺為y 標(biāo)尺,與擊錘運(yùn)動方向垂直的標(biāo)尺為x 標(biāo)尺。）： 由于這一擊發(fā)過程涉及變形體的相互作用問題，通過理論推導(dǎo)得出具體的函數(shù)關(guān)系較為困難，但是由于發(fā)射器上的標(biāo)尺標(biāo)度離散分布，可以通過在發(fā)射器正上方設(shè)置高速攝影并利用tracker追點分析的方法，得出某一標(biāo)尺標(biāo)度組合Γ=x,y所對應(yīng)的發(fā)射速度與角速度。 為了評估發(fā)射器對出射速度與角速度控制的有效性，利用tracker追蹤了十組標(biāo)度組合Γ=4,2下的出射速度與角速度，通過計算得出發(fā)射器發(fā)射10組撲克牌出射速度與角速度的相對誤差在1.0%~2.0%之間，可以看出發(fā)射器對出射速度與角速度的控制效果較好。 為了拍攝撲克牌的三維飛行軌跡，至少需要兩臺攝像機(jī)從兩個相互垂直的方向進(jìn)行拍攝。從發(fā)射軌跡正右方拍攝撲克牌在豎直方向的運(yùn)動軌跡，從正上方拍攝撲克牌在水平方向的運(yùn)動軌跡，通過盡可能延長拍攝點與運(yùn)動軌跡間的距離來盡可能減小由透視造成的拍攝誤差，將拍攝的運(yùn)動視頻導(dǎo)入tracker中追蹤，就得到了撲克牌運(yùn)動的空間軌跡。 同時，還需要一臺攝像機(jī)從發(fā)射器正上方拍攝，以追蹤在特定的標(biāo)度組合Γ=x,y下，撲克牌的出射速度與角速度。 在進(jìn)行正式實驗之前，可以先使用發(fā)射器對撲克牌進(jìn)行了發(fā)射預(yù)實驗，以探究何種發(fā)射的初始參數(shù)會對撲克牌的飛行距離與軌跡產(chǎn)生顯著影響。經(jīng)過預(yù)實驗并對確定撲克牌空間運(yùn)動方程的定解條件的估計，可以發(fā)現(xiàn)撲克牌的運(yùn)動軌跡與距離受俯仰角，出射高度，角速度，速度這五個參數(shù)的影響較為顯著。其中俯仰角、出射高度的定義由圖4給出。 調(diào)整撲克牌的x標(biāo)度，使得撲克牌質(zhì)心位于擊錘運(yùn)動導(dǎo)軌的延長線上。此時擊錘給予撲克牌的沖量通過撲克牌質(zhì)心，撲克牌出射角速度為0。 在這種情況下發(fā)射撲克牌，撲克牌在發(fā)射后迅速向上方偏轉(zhuǎn)，同時牌面也急劇翻轉(zhuǎn)，向出射方向運(yùn)動的速度迅速減為0，定義這一現(xiàn)象為「失穩(wěn)」。在運(yùn)動到最高點后，撲克牌開始一邊旋轉(zhuǎn)一邊下墜落地。在10組實驗中，撲克牌的最大飛行距離僅為1.84m。 調(diào)整撲克牌的標(biāo)度為4,2，發(fā)射撲克牌。此時撲克牌并未出現(xiàn)上述的迅速失穩(wěn)的現(xiàn)象，而是穩(wěn)定地旋轉(zhuǎn)并在空中飛行了相當(dāng)長的一段時間與距離。在此過程中，撲克牌出現(xiàn)了明顯的向左側(cè)滾轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，在落地前牌面甚至幾乎與地面垂直；同時，撲克牌的運(yùn)動軌跡也明顯的向左側(cè)偏轉(zhuǎn)。但是撲克牌直到落地時仍保持穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)與空間運(yùn)動。 整體而言，旋轉(zhuǎn)撲克牌的空間運(yùn)動規(guī)律為：初始一段做近似直線運(yùn)動，隨后進(jìn)行曲線運(yùn)動，發(fā)生偏轉(zhuǎn)并開始下落。 保持撲克牌的標(biāo)度為4,2，此時出射速度和角速度分別為v=7.91m/s，ω=132.89/s，控制出射高度為0.9m,改變俯仰角為0°，5°，10°，15°，發(fā)射撲克牌，可得其在豎直方向的運(yùn)動軌跡如圖5所示；其在水平方向的運(yùn)動軌跡如圖6所示。 當(dāng)出射角較小時，出射角增加水平位移也隨之增加。但出射角過大時，撲克牌會發(fā)生明顯的「回轉(zhuǎn)」現(xiàn)象，即撲克牌飛行過程中水平因為回轉(zhuǎn)導(dǎo)致水平位移減少，如圖8中俯仰角為15°時的軌跡所示。利用tracker記錄發(fā)射54組撲克牌的落點，并且求出該初始條件下?lián)淇伺频钠骄潼c，得到的結(jié)果如表1所示。 可以看出，撲克牌出射俯仰角為5°時，其總位移達(dá)到極值，而在下一個數(shù)據(jù)點10°是，總位移開始減小。因此，撲克牌發(fā)生回轉(zhuǎn)的臨界俯仰角為5°~10°。 控制出射俯仰角為5°，高度為0.9m，通過改變撲克牌的標(biāo)度的方法，控制出射速度恒為v=7.91m/s，改變角速度為-227.34/s,-146.23/s, 132.89/s, 179.52/s, 209.44/s(設(shè)順時針旋轉(zhuǎn)為角速度正方向)，發(fā)射撲克牌，可得其在水平方向的運(yùn)動軌跡如圖7所示。 當(dāng)撲克牌順時針轉(zhuǎn)動時，撲克牌會向出射方向的左側(cè)偏轉(zhuǎn)；逆時針轉(zhuǎn)動時則會向右側(cè)偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)方向與撲克牌自轉(zhuǎn)方向相反。同時，撲克牌轉(zhuǎn)速越快，偏轉(zhuǎn)幅度越小，曲率半徑越大。撲克牌飛行的軌跡特征與飛盤的軌跡特征存在相反的規(guī)律，也就是說馬格努斯效應(yīng)不能解釋撲克牌的飛行特征。 同樣利用tracker記錄發(fā)射54組撲克牌的落點，并且求出該初始條件下?lián)淇伺频钠骄潼c，得到的結(jié)果如表2所示。 可以看出，在出射俯仰角、速度、高度相同的情況下，撲克牌旋轉(zhuǎn)角速度越快，飛行距離越遠(yuǎn)。 控制出射俯仰角為5°，出射速度和角速度分別為v=7.91m/s,ω=132.89/s，改變出射高度依次為0.7m,0.9m,1.1m,1.3m,1.5m，發(fā)射撲克牌，記錄發(fā)射54組撲克牌的落點，并且求出該初始條件下?lián)淇伺频钠骄潼c，得到的結(jié)果如表3所示。 而將發(fā)射器高度調(diào)至極限(超出高度標(biāo)尺量程)，以出射俯仰角為5°，出射速度和角速度分別為v=7.91m/s,ω=132.89/s的初始條件發(fā)射撲克牌，并記錄其軌跡；將改變高度實驗中各高度下?lián)淇伺频钠骄潼c與軌跡在同一張圖中繪出，如圖8所示。 通過圖像，可以得出結(jié)論：改變出射高度時，撲克牌落點分布在該初始條件下的軌跡上，即出射高度并不影響撲克牌飛行軌跡的形狀。 撲克牌在空間中的飛行是一個有著6個自由度的剛體空間運(yùn)動[2]，為了方便研究，將其拆解為剛體相對其質(zhì)心隨體坐標(biāo)系的運(yùn)動，和其質(zhì)心相對空間參考系的質(zhì)點曲線運(yùn)動兩部分進(jìn)行分別分析。 以撲克牌質(zhì)心為原點，質(zhì)心空間運(yùn)動的速度方向v為x軸正方向，牌面的法線方向為z軸正方向，按照右手法則確定y軸正方向，建立隨體的空間直角坐標(biāo)系，如圖9所示。 而撲克牌相對于這一隨體坐標(biāo)系的運(yùn)動主要包括：自轉(zhuǎn)，繞y軸的章動，進(jìn)動三部分。其中自轉(zhuǎn)部分是由于撲克牌的發(fā)射方式導(dǎo)致的，并影響著章動和進(jìn)動[3]。 撲克牌在飛行過程中，受到重力作用，會產(chǎn)生豎直向下的分速度。這導(dǎo)致來流方向與撲克牌牌面產(chǎn)生夾角，即攻角。在攻角大于0°時，撲克牌牌面上側(cè)的壓強(qiáng)會小于下側(cè)的壓強(qiáng)，進(jìn)而產(chǎn)生升力和壓差阻力，并且攻角越大，壓力差越大[4]。如圖10所示。 同時也可以發(fā)現(xiàn)，撲克牌上表面的低壓區(qū)和下表面的高壓區(qū)均集中于靠近來流方向。也就是說撲克牌的氣動中心與撲克牌不重合。在作用點不重合的升力、重力和阻力的作用下，會產(chǎn)生使撲克牌攻角增大的力矩，撲克牌繞y軸章動。撲克牌飛行過程中的受力情況如圖11所示。 對于不旋轉(zhuǎn)的撲克牌，一旦攻角非0，受到升力和阻力力矩的作用，其攻角會以正反饋的形式不可逆增大，撲克牌迅速章動翻轉(zhuǎn)，阻力也迅速增大，水平飛行速度迅速減為0，即發(fā)生了「失穩(wěn)」； 對于旋轉(zhuǎn)的撲克牌，在轉(zhuǎn)動過程中受到與轉(zhuǎn)軸成一定夾角的力矩作用時，會產(chǎn)生一個與該力矩相反的陀螺力矩Mg，阻礙章動的發(fā)生[2]。因此，對于旋轉(zhuǎn)的撲克牌，陀螺力矩與升力力矩抵消，使其穩(wěn)定地飛行相當(dāng)長一段距離。 其中：M為垂直方向合力矩，即升力矩和阻力矩；Jz為撲克牌轉(zhuǎn)動慣量；ω為自轉(zhuǎn)角速度[2]。 進(jìn)動的發(fā)生，會導(dǎo)致牌面翻轉(zhuǎn)，而撲克牌受到的升力始終垂直于牌面，因此撲克牌升力方向改變，水平方向上的軌跡出現(xiàn)彎曲；同時進(jìn)動也會導(dǎo)致在yOz平面內(nèi)，氣動中心投影位置偏移，升力和阻力的作用點改變并偏移質(zhì)心，產(chǎn)生力矩，使撲克牌繞x軸章動，加劇牌面翻轉(zhuǎn)；同時也會使撲克牌攻角減小，升力大小減�。▓D12）。 當(dāng)自旋飛行物的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與物體飛行速度矢量不重合時，與角速度矢量和速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產(chǎn)生一個橫向力，這一現(xiàn)象稱為馬格努斯效應(yīng)。其計算公式為 其中：ρ為空氣密度，v為平動速度，Γ為接觸空氣的環(huán)量，h為物體厚度方向尺寸[5]。注意到撲克牌在厚度方向的尺寸遠(yuǎn)小于長度和寬度方向的尺寸。 將撲克牌等效成以其對角線長度為直徑的圓盤，對其FR的數(shù)量級進(jìn)行估計，為10-8N，而由于撲克牌的 形狀并非軸對稱，其旋轉(zhuǎn)時會產(chǎn)生較強(qiáng)的湍流效應(yīng)，這會對馬格努斯效應(yīng)造成削弱，因此FR的實際大小應(yīng)小于估計值[6]。相較于重力10-2N的數(shù)量級而言很小。因此引發(fā)撲克牌偏轉(zhuǎn)的主要原因是撲克牌進(jìn)動導(dǎo)致的升力偏轉(zhuǎn)，而非馬格努斯效應(yīng)。這也解釋了撲克牌轉(zhuǎn)速越快，偏轉(zhuǎn)幅度越小的，與飛盤運(yùn)動規(guī)律矛盾的實驗現(xiàn)象。 以撲克牌發(fā)射點處的地面為原點，撲克牌出射方向為x軸正方向，垂直與地面向上的方向為z軸正方向，按照右手法則確定y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（圖13）。 分別在xOz,yOz,xOy平面內(nèi)對撲克牌進(jìn)行觀察并受力分析，如圖14所示。 其中ρs為空氣密度，V為來流速度，S為參考面積，此處取撲克牌的牌面面積。而CL,CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，是需要的無量綱數(shù)，只與撲克牌的攻角和形狀有關(guān)系。通過CFD相關(guān)仿真，可以得出該模型下的升力系數(shù)與阻力系數(shù)分別為[7] 其中繞y軸的章動由來流方向改變造成，會使撲克牌產(chǎn)生非0攻角，產(chǎn)生升力，有效延長撲克牌飛行距離；但是章動也會使攻角以正反饋的形式迅速增大，導(dǎo)致?lián)淇伺剖Х�(wěn)，使撲克牌的前進(jìn)速度迅速減為0，而撲克牌的自轉(zhuǎn)會抑制章動，讓撲克牌可以穩(wěn)定地飛行相當(dāng)長一段距離。 繞z軸的進(jìn)動由撲克牌的自轉(zhuǎn)與章動相互作用造成，會導(dǎo)致升力中心發(fā)生偏移，牌面翻轉(zhuǎn)，升力方向隨之偏向飛行軌跡側(cè)向，提供向心力，是水平軌跡彎曲產(chǎn)生的主要原因。 在發(fā)射后，受旋轉(zhuǎn)撲克牌陀螺效應(yīng)的影響，陀螺力矩與受到的氣動力矩相互平衡，同時升力一定程度上平衡阻力，撲克牌在慣性的作用下先進(jìn)行一段近似直線運(yùn)動； 隨后由于撲克牌進(jìn)動導(dǎo)致牌面偏轉(zhuǎn)，撲克牌受到的氣動力方向始終與牌面垂直，因而在xOy平面內(nèi)產(chǎn)生向心力，導(dǎo)致牌軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)，進(jìn)行曲線運(yùn)動； 當(dāng)牌轉(zhuǎn)至與地面垂直時，氣動力的大小趨近于0，此時撲克牌僅受到重力的作用，做斜拋運(yùn)動。 俯仰角決定牌的飛行高度，俯仰角越大，撲克牌發(fā)射后所飛行的高度越高。同時，出射角大于10°時，撲克牌會發(fā)生明顯的回轉(zhuǎn)； 角速度決定牌的偏轉(zhuǎn)方向與偏轉(zhuǎn)程度，順時針旋轉(zhuǎn)的撲克牌向左側(cè)偏轉(zhuǎn)，逆時針旋轉(zhuǎn)的牌向右側(cè)偏轉(zhuǎn)，角速度越大偏轉(zhuǎn)程度越�。� 在一定程度上，增大俯仰角可以增加飛行距離，但俯仰角過大會導(dǎo)致?lián)淇伺苹匦瑴p小飛行距離； [1]李振. 投擲機(jī)器人拋擲物的飛行軌跡的仿真研究[D].邯鄲：河北工程大學(xué),2018. [2]張勁夫,秦衛(wèi)陽,谷旭東，編著. 新編高等動力學(xué)[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2020. [4]閆再友，等，編著. 空氣動力學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2018. [5]周光炯，等，編著. 流體力學(xué)(上冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2011. 通訊作者: 方愛平，女，西安交通大學(xué)副教授，長期從事大學(xué)物理及熱學(xué)教學(xué)研究工作， 引文格式:柯春旭，劉萍，周明爍，等. 撲克牌飛行的動力學(xué)分析[J]. 物理與工程，2021，31（5）：104-111. 本文為澎湃號作者或機(jī)構(gòu)在澎湃新聞上傳并發(fā)布，僅代表該作者或機(jī)構(gòu)觀點，不代表澎湃新聞的觀點或立場，澎湃新聞僅提供信息發(fā)布平臺。申請澎湃號請用電腦訪問。 |